Glossario di psicologia
La probabilità condizionata
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di Emanuele Fazio
La probabilità condizionata
In un parco pubblico, io e il mio amico Brando incontriamo il sig. Rossi che passeggia assieme a un ragazzo.
Dopo averlo salutato e esserci allontanati, il mio amico Brando mi propone il seguente rompicapo:
il sig. Rossi ha due figli. Quante probabilità ci sono che anche l’altro figlio sia maschio, dato che uno dei due, come abbiamo visto, è maschio?
Stiamo parlando della probabilità condizionata, cioè della probabilità che un dato evento che chiamiamo B si verifichi (nel nostro caso l’evento B è anche l’altro figlio sia maschio) in funzione del fatto che un altro evento che chiamiamo A e ad esso collegato si sia verificato (come nel caso nostro) o che si possa verificare. L’evento A è uno dei due è maschio.
L’evento B è detto evento condizionato, mentre l’evento A è detto evento condizionante.
Emanuele Fazio Psicologo a Roma Nord
La probabilità condizionata spiegata passo dopo passo
Quindi, riformulando la domanda di Brando, diremo:
Quante probabilità ci sono che si verifichi l’evento B, dopo che si è verificato l’evento A?
Prima di provare a risolvere il rompicapo sulla probabilità condizionata del nostro amico Brando, facciamo un passo indietro, iniziando col dire che in natura, tutte le combinazioni possibili, dati due figli, sono le seguenti:
maschio/maschio, maschio/femmina, femmina/maschio, femmina/femmina.
Molto probabilmente, alcuni avranno invece pensato a qualcosa del genere:
o sono entrambi maschi, o sono entrambe femmine, oppure sono maschio e femmina.
Tuttavia, solo la prima formulazione è quella che ci aiuterà a risolvere il rompicapo, e cioè
maschio/maschio, maschio/femmina, femmina/maschio, femmina/femmina.
Ampliando questa formulazione, possiamo dire anche in questo modo:
Quando si hanno due figli, si avrà un primogenito e un secondogenito (per i gemelli possiamo considerare chi viene alla luce per primo). Se indichiamo con il numero 1 il primogenito e con il numero 2 il secondogenito, le combinazioni possibili sono le seguenti:
1 Maschio 2 Maschio
1 Maschio 2 Femmina
1 Femmina 2 Maschio
1 Femmina 2 Femmina
Facciamo un altro esempio
Immaginiamo di avere due dadi (i due figli) e che il numero pari significhi maschio, mentre il numero dispari significhi femmina.
Vediamo prima la differenza tra risultato e combinazione.
Lanciando i dadi, posso ottenere 11 risultati: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.
Ma attenzione! Le combinazioni sono invece 36.
Ecco le combinazioni, aiutandoci con una tabella:
Secondo dado → | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Primo dado ↓ | ||||||
1 | 1/1 | 1/2 | 1/3 | 1/4 | 1/5 | 1/6 |
2 | 2/1 | 2/2 | 2/3 | 2/4 | 2/5 | 2/6 |
3 | 3/1 | 3/2 | 3/3 | 3/4 | 3/5 | 3/6 |
4 | 4/1 | 4/2 | 4/3 | 4/4 | 4/5 | 4/6 |
5 | 5/1 | 5/2 | 5/3 | 5/4 | 5/5 | 5/6 |
6 | 6/1 | 6/2 | 6/3 | 6/4 | 6/5 | 6/6 |
Capiamo meglio la differenza tra risultato e combinazione con un esempio.
Prendiamo il risultato 7. Lo posso ottenere con le seguenti combinazioni (il primo numero è il primo dado, il secondo numero è il secondo dado):
1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2 e 6/1
Ben sei combinazioni (su 36)!
Vediamo il risultato 10.
4/6, 5/5, 6/4
Solo 3 combinazioni (su 36)
Torniamo alla probabilità condizionata (tratteremo subito dopo anche il rompicapo)
Avevamo supposto i due dadi essere i due figli e i risultati pari corrispondere a maschio mentre i dispari corrispondono a femmina.
Quindi le combinazioni con due numeri pari corrispondono a due figli maschi, le combinazioni con due numeri dispari corrispondono a due figlie femmine e le rimanenti a maschio e femmina o femmina e maschio.
Più precisamente, primo numero pari/secondo numero dispari corrisponde a maschio e femmina mentre primo numero dispari/secondo numero pari corrisponde a femmina e maschio.
Iniziamo da due numeri pari (e che vedi sottolineati)
Secondo dado → | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Primo dado ↓ | ||||||
1 | 1/1 | 1/2 | 1/3 | 1/4 | 1/5 | 1/6 |
2 | 2/1 | 2/2 | 2/3 | 2/4 | 2/5 | 2/6 |
3 | 3/1 | 3/2 | 3/3 | 3/4 | 3/5 | 3/6 |
4 | 4/1 | 4/2 | 4/3 | 4/4 | 4/5 | 4/6 |
5 | 5/1 | 5/2 | 5/3 | 5/4 | 5/5 | 5/6 |
6 | 6/1 | 6/2 | 6/3 | 6/4 | 6/5 | 6/6 |
Sono in tutto 9 (su 36).
Passiamo a due numeri dispari
Adesso, sottolineiamo due numeri dispari, corrispondenti a due figlie femmine.
Secondo dado → | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Primo dado ↓ | ||||||
1 | 1/1 | 1/2 | 1/3 | 1/4 | 1/5 | 1/6 |
2 | 2/1 | 2/2 | 2/3 | 2/4 | 2/5 | 2/6 |
3 | 3/1 | 3/2 | 3/3 | 3/4 | 3/5 | 3/6 |
4 | 4/1 | 4/2 | 4/3 | 4/4 | 4/5 | 4/6 |
5 | 5/1 | 5/2 | 5/3 | 5/4 | 5/5 | 5/6 |
6 | 6/1 | 6/2 | 6/3 | 6/4 | 6/5 | 6/6 |
Sono di nuovo 9 (su 36).
Passiamo a pari e dispari
Vediamo adesso la combinazione maschio e femmina, rappresentata dal primo numero pari e dal secondo dispari.
Secondo dado → | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Primo dado ↓ | ||||||
1 | 1/1 | 1/2 | 1/3 | 1/4 | 1/5 | 1/6 |
2 | 2/1 | 2/2 | 2/3 | 2/4 | 2/5 | 2/6 |
3 | 3/1 | 3/2 | 3/3 | 3/4 | 3/5 | 3/6 |
4 | 4/1 | 4/2 | 4/3 | 4/4 | 4/5 | 4/6 |
5 | 5/1 | 5/2 | 5/3 | 5/4 | 5/5 | 5/6 |
6 | 6/1 | 6/2 | 6/3 | 6/4 | 6/5 | 6/6 |
Sono 9 (su 36).
Inutile rubare spazio con la quarta tabella: è evidente che le combinazioni numero dispari/numero pari corrispondente a femmina e maschio sono di nuovo 9 su 36.
9 su 36 significa 9 diviso 36, cioè ¼. In termini percentuali si può scrivere .25 oppure 25%.
Abbiamo pertanto le seguenti probabilità, dati due figli:
- entrambi sono maschi (25%)
- entrambe sono femmine (25%)
- il primo è maschio e la seconda è femmina (25%)
- la prima è femmina e il secondo è maschio (25%).
Passiamo adesso al rompicapo.
Poiché almeno uno dei due figli è maschio, come abbiamo visto, una cosa a questo punto è certa: il sig. Rossi non ha due figlie femmine.
Rimangono pertanto tre possibilità: entrambi maschi, il primo maschio e la seconda femmina e la prima femmina e il secondo maschio.
Le combinazioni possibili viste in precedenza con l’ausilio delle tabelle, si riducono da 36 a 27, poiché dobbiamo eliminare le combinazioni primo numero dispari/secondo numero dispari, corrispondente a due figlie femmine.
La combinazione maschio/maschio è pari a 9 su 27, pari a 1/3 o 33,33%, che è anche la soluzione al nostro rompicapo. Infatti, negli altri due casi possibili (maschio/femmina e femmina/maschio) l’altro figlio è sempre femmina, stante che uno è certamente maschio e che per esclusione l’altro non può essere che femmina.
Alcune importanti precisazioni sulla probabilità condizionata
Poniamo il caso che quel giorno non avessimo incontrato il sig. Rossi e che Brando mi avesse posto la seguente domanda:
Un mio conoscente, il sig. Rossi, ha due figli. Quante probabilità ci sono che siano entrambi maschi?
In questo caso non si tratta di un problema di probabilità condizionata (o distribuzione di probabilità a posteriori) ma di un problema di distribuzione di probabilità a priori.
Poiché a priori, cioè null’altro dato se non il puro dato statistico, la probabilità che dati due figli, entrambi siano maschi è pari al 25%, la risposta non può che essere questa.
Un altro modo per risolvere il rompicapo è attraverso l’utilizzo della formula di Bayes, di cui parliamo in questo articolo.